Đáp án bài toán chính phương trong đề thi IMSO 2019 – Thông Tin Tuyển Sinh Đại Học

Tất cả bạn đọc gửi lời giải bài toán chính phương trong kỳ thi IMSO vừa diễn ra tại Hà Nội đều có chung đáp án n bằng 3.

Topic 62. PERFECT SQUARES

Problem: Find all positive integers n such that (n! + 2019) is a perfect square. (Here we define n! = 1 × 2 × 3 × … × n.)

Dịch đề: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số (n! + 2019) là số chính phương. (Ở đây n! = 1 × 2 × 3 × … × n.)

Lời giải:

Cách 1. Dựa vào nhận xét một số khi chia cho 4 dư 3 không là số chính phương.

Do 2019 chia cho 4 dư 3 nên với n lớn hơn hoặc bằng 4 thì n! = 1 × 2 × 3 × 4 ×… × n chia hết cho 4 và (n! + 2019) chia cho 4 dư 3 nên không là số chính phương.

Thử trực tiếp với n = 1, 2, 3, chỉ có với n = 3 thì n! + 2019 = 2025 = 452

Cách 2. Dựa vào nhận xét một số có 2 chữ số lẻ tận cùng không là số chính phương.

Nếu n lớn hơn hoặc bằng 5 thì n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 … × n có 2 chữ số tận cùng là y0 trong đó y là chữ số chẵn nên (n! + 2019) có 2 chữ số lẻ tận cùng nên không là số chính phương.

Thử trực tiếp với n = 1, 2, 3, 4, chỉ có với n = 3 thì n! + 2019 = 2025 = 452

Cách 3. Dựa vào nhận xét một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 thì không là số chính phương.

Nếu n lớn hơn hoặc bằng 6 thì n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6… × n chia hết cho 9. Do 2019 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên với n lớn hơn hoặc bằng 6 thì (n! + 2019) chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, nên không là số chính phương.

Thử trực tiếp với n = 1, 2, 3, 4, 5, chỉ có với n = 3 thì n! + 2019 = 2025 = 452

Solution:

Method 1. A perfect square cannot leave a remainder of 3 when divided by 4.

Note that when n>=4, n! = 1 × 2 × 3 × 4 × … × n is divisible by 4, and 2019 leaves a remainder of 3 when divided by 4. Hence, when n ³ 4, (n! + 2019) cannot be a perfect square.

Try n = 1, 2, 3. Only n = 3 satisfies the given condition: 3! + 2019 = 2025 = 452.

Method 2. The last two digits of a perfect square cannot be both odd.

When n>= 5, the last two digits of n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 … × n will be y0. Hence, (n! + 2019) will end with two odd digits and thus cannot be a perfect square.

Try n = 1, 2, 3, 4. Only n = 3 satisfies the given condition: 3! + 2019 = 2025 = 452.

Method 3. A number that is divisible by 3 but not by 9 cannot be a perfect square.

When n>= 6, n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6… × n is divisible by 9. Since 2019 is divisible by 3 but not by 9, when n>= 6, (n! + 2019) will also be divisible by 3 but not by 9 and thus cannot be a perfect square.

Try n = 1, 2, 3, 4, 5. Only n = 3 satisfies the condition: 3! + 2019 = 2025 = 452.

Minh Phương

Tổng hợp bởi: Thông Tin Tuyển Sinh Đại Học

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *